前々から, マンションにはかなりの人が住んでいるはずなのに, エレベーターで
鉢合わせすることが期待よりかなり少ないのが不思議だった。
今日地下鉄に乗る時に少し考えてみて, これは確率的には確かにそうなのかも
しれないと納得できた。
以下の話はネットワークのパケットの衝突の話と同じなので, 恐らく専門的な理論
があると思いますが, 簡単な議論として。
抽象的に考えると, 問題は区間 [0,1] に長さ p (<< 1) の短冊をN個落とした
ときに, ある短冊がどれとも重ならない確率と等しい。
1日の時間が区間 [0,1] を, 短冊がそれぞれの住人がエレベーターを使っている時間を表している。
| □ □ □ □ |
これは, N個の短冊がすでにランダムに [0,1] 上にばらまかれている時,
[0,1] 上に一様分布でピンを落とした時にどの短冊にもヒットしない確率と等価。
よって, エレベーターを使っている時間を仮に1分とすると, 1日は60分x24時間
= 1440分なので, 上の確率pは1/1440になる。実際には夜中に使う人は少ないので,
若干大き目に見積もるとp=1/1000=0.001くらい。
すると, 「N個の短冊のどれにもヒットしない」という確率は, (1-p) のN乗だから,
1-p=0.999とすれば, 計算すると
- N=10 のとき 0.9900
- N=100 のとき 0.9047
- N=200 のとき 0.8186
となる。今のマンションは住人は100人くらいだと思われるので, かち合う確率が
1/10程度というのは経験とも近い。
なお人口1000人のタワーマンションだと, この確率は0.368になり, 7/10は住人と遭遇するようです。
朝夕の時間に特に出入りが激しくなるので, 上の確率を2倍にして p = 1/500
としてみても, (1-p)^100 = 0.818 になり, 5回に4回は住人と衝突しない。
というわけで, また長年の疑問の一つが解決したのでした。