ぐはっ。第1種Stirling数..。
どうしてここでそれが出てくるんだ。ぐはっ。(吐血)

やっと理解できた。何日も悩んでいたので, 自分用メモというか, 公開デバッグ。

いま, 離散的なデータ θ = {θ₁, ..., θ_n}が Dirichlet Process G ~ DP(α_0,G_0) に従っていたとする。
つまり, θ ~ G, i.i.d. n times.
このとき, n個のデータθが, 実際には k 個の違った値をとる確率 p(Z_n = k) が知りたい。(Z_n は n 個のデータのもつカテゴリの個数を表す 確率変数.)
例えば, θ = {{θ₁,θ₂},{θ₃,θ₄,θ₅},{θ₆,θ₇}}とグループ分けされるとき, その確率は (α_0 = αと書くと)
1・1/(α+1)・α/(α+2)・1/(α+3)・2/(α+4)・α/(α+5)・1/(α+6) = 2・α^3/(α(α+1)‥(α+6)) = α^3・1^(2)/α^(7)
になる。ここで, x^(n) は raising factorial x(x+1)‥(x+n-1).

同様にして, n 個のデータが k 個に分かれるとすると, その partition のパターン を π(n,k) と書くと,
p(Z_n = k) = Σ_i∈π(n,k) α^k・f(i)/α⁽ⁿ⁾ = α^k/α⁽ⁿ⁾Σ_i∈π(n,k)f(i)= α^k/α⁽ⁿ⁾ c(n,k)
となる。ここで c(n,k) は n と k から決まる定数。
いっぽう, 第1種Stirling数 s(n,k) (reference) (Mathworld) を使うと, raising factorial x^(n) は
x^(n) = s(n,1) x + s(n,2) x^2 + .. + s(n,n) x^n
と展開できるので, 両辺を x^(n) で割って x = α とおくと, 1 = Σ_k=1ⁿ s(n,k) α^k/α⁽ⁿ⁾.
これを上の式と比べると,
p(Z_n = k) = s(n,k) α^k/α⁽ⁿ⁾
となることがわかる。□
直接考えても, (Σ_i∈π(n,k)f(i))は (n個のデータをk個に分割する組み合わせの数) × (各partitionの中での円順列の数) なので, 第1種Stirling数の定義に従って これは s(n,k) に等しい,ということにバスの中で気付いた。