最近Facebookにばかり書いているのですが, 今回は数式と図が入っているので, こちらで。 ほぼ10年前の ホットケーキ分割 の続き(?)として, 自分用メモ。
ゴールデンウィークなので, 湯河原の喫茶店
WEST本店
でチョコモンブランケーキを1つ頼んで奥様と二人で分けようとして, ふと思った。
ケーキを二つに分けるとき, 放射状に分けると薄くなってしまって扱いづらいので,
普通に横に切って二つに分けたくなります。ケーキが二等辺三角形ならば, 面積の比を
1:1にするためにはケーキの円の半径を1として1/√2の所で切ればいいわけですが,
図のように実際はケーキは円のため弧の部分が外に出ているので,
それでは実際に1/2にするためにはどこで切ればいいのでしょう, という問題。
この答えは計算すると簡単で, 図のようにケーキの中心角をθにとると, 半径を1, 切る場所をrとして, 切った三角形の面積は
r・rsinθ・1/2 = 1/2r2sinθ.一方で円弧の面積は π・1^2・θ/(2π)=θ/2 なので, この半分が上に等しいとおくと 1/2r2sinθ = θ/4. これを解くと
r = √θ/(2sinθ) = 1/√2・√(θ/sinθ)になります。 つまり, 円弧を考えない場合の解 1/√2 に対して, √(θ/sinθ) というファクターが掛かっている, ということ。よく知られているようにθ〜0のとき θ〜sinθなので, この補正項の値はほぼ1で, θが大きくなって例えばケーキの普通の 最大角であるπ/4くらいになると, 計算すると 1.054 くらいになる模様。
というわけで, 面積を1/2にするには普通は三角形では1/√2=70.7%の所で切ればいい ですが, ショートケーキの場合は上の式で, 45°のケーキでは 74.52%, ほぼ3/4の所 で切らなければならないということのようです。
クリーム好き
上の話を聞いた奥様曰く, ケーキが好きな人はクリームが好きなので, クリームが
平等に分配される分割が必要なんじゃない? ということで, 以下補足。
ケーキの高さをhとすると, クリームはショートケーキの枠の部分にも付いているので,
クリーム全体の量は(深さは無視できるので)
..と, ここまで書いたところで, h=0.5のときにちょうど枠の部分のクリームと上の クリームの量が同じになるので(意外!), h>=1/2ではrを幾つにするかという議論は 成り立たないことに気付きました。ちなみに h=1/3, θ=π/6の場合, r=0.9341と, ほとんど縁ギリギリの値になるようです。
というわけで, 永年の疑問?の一つが解決したのでした。
θ/2 + 2π・1・θ/(2π)・h = θ/2+θh.この半分が1/2r^2sinθに等しいとおいて計算すると, rは
r = √θ/(2sinθ)・√(1+2h)になるようです。当然 h=0 のときは後ろのファクターは1で, 典型的なh=0.5くらい のときは, ファクターは √2 でrの値が1.41倍くらいになる計算。
..と, ここまで書いたところで, h=0.5のときにちょうど枠の部分のクリームと上の クリームの量が同じになるので(意外!), h>=1/2ではrを幾つにするかという議論は 成り立たないことに気付きました。ちなみに h=1/3, θ=π/6の場合, r=0.9341と, ほとんど縁ギリギリの値になるようです。
というわけで, 永年の疑問?の一つが解決したのでした。